七道数学极限练习题及计算过程A13

本经验以极限分子分母根据所求极限条件,以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1,lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式,介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。

1.计算lim(n→∞)(13n²-12)/(26n⁴+18n-8)

    1

    解:观察所求极限特征,可知所求极限的分母此时为2,分子的次数为4,且分子分母没有可约的因子,则当n趋近无穷大时,所求极限等于0。

    本题计算方法为分子分母同时除以n⁴,即:

    lim(n→∞)(13n²-12)/(26n⁴+18n-8)

    =lim(n→∞)(13/n-12/n⁴)/(26+18/n³-8/n⁴),

    =0。

    七道数学极限练习题及计算过程A13END

2.计算lim(n→∞)(22n-35n-28)/(35+9n-31n²)

    1

    2.计算lim(n→∞)(22n-35n-28)/(35+9n-31n²)

    解:思路一:观察所求极限特征,可知所求极限的分子分母的次数相同均为2,且分子分母没有可约的因子,则分子分母同时除以n²,即:

    lim(n→∞)(22n²-35n-28)/(35+9n-31n²)

    =lim(n→∞)(22-35/n-28/n²)/(35/n+9/n-31),

    =(22-0)/(0-31),

    =-22/31。

    七道数学极限练习题及计算过程A13

    2

    思路二:本题所求极限符合洛必达法则,有:

    lim(n→∞)(22n²-35n-28)/(35+9n-31n²)

    =lim(n→∞)(44n-35)/(9-62n),继续使用罗必塔法则,

    =lim(n→∞)(44-0)/(0-62),

    =-22/31。

    七道数学极限练习题及计算过程A13END

3.求极限lim(x→1)(x³-31x+30)/(x⁴-40x+39)

    1

    3.求极限lim(x→1)(x³-31x+30)/(x⁴-40x+39)

    解:观察极限特征,所求极限为定点x趋近于1,又分子分母含有公因式x-1,即x=1是极限函数的可去间断点,则:

    lim(x→1)(x³-31x+30)/(x⁴-40x+39)

    =lim(x→1)(x-1)(x²+x-30)/[(x-1)(x³+x²+x-39)],

    =lim(x→1)(x²+x-30)/(x³+x²+x-39),

    =(1+1-30)/(1+1+1-39),

    =7/9。

    七道数学极限练习题及计算过程A13END

4.求lim(x→0)(23x+28sin3x)/(4x-47sin11x)

    1

    解:思路一:本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得,则:

    lim(x→0)(23x+28sin3x)/(4x-47sin11x),

    =lim(x→0)(23+28sin3x/x)/(4-47sin11x/x),

    =lim(x→0)(23+84sin3x/3x)/(4-517sin11x/11x),

    =(23+84)/(4-517),

    =-107/513。

    七道数学极限练习题及计算过程A13

    2

    思路二:使用罗必塔法则计算有:

    lim(x→0)(23x+28sin3x)/(4x-47sin11x),

    =lim(x→0)(23+28*3cos3x)/(4-47*11cos11x),

    =(23+28*3)/(4-47*11),

    =-107/513。

    七道数学极限练习题及计算过程A13END

5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(46x+49)

    1

    5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(46x+49)。

    解:本题思路是分子分母同时除以x,并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1,则:

    lim(x→∞)(x²sin1/x)/(46x+49)

    =lim(x→∞)(xsin1/x)/[(46x+49)/x],

    =lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[46+(49/x)],

    =1/{lim(x→∞)[46+(49/x)]},

    =1/46。

    七道数学极限练习题及计算过程A13END

6.求lim(x→0)(sinx-sin73x)/sin36x

    1

    解:思路一:对分母进行三角和差化积,再进行极限计算,有:

    lim(x→0)(sinx-sin73x)/sin36x

    =lim(x→0)2cos37xsin(-36x)/sin36x,

    =lim(x→0)-2cos37x,

    =-2cos0=-2。

    七道数学极限练习题及计算过程A13

    2

    思路二:使用罗必塔法则计算有:

    lim(x→0)(sinx-sin73x)/sin36x,

    =lim(x→0)(cosx-sin73cos73x)/(36cos36x),

    =lim(x→0)(1-73)/36,

    =-2。

    七道数学极限练习题及计算过程A13END

7.求lim(x→0)(1+2x)^(11/21x)。

    1

    解:本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得,则:

    lim(x→0)(1+2x)^(11/21x),

    =lim(x→0){[(1+2x)^(1/2x)]}^(11*2/21),

    =e^(11*2/21),

    =e^(22/21)。

    七道数学极限练习题及计算过程A13END

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