画复合分式函数y=(2x³-1)/(x+1)³图像的主要步骤

本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质,介绍函数用导数工具画函数y=(2x³-1)/(x+1)³的图像的主要步骤。

函数的定义域

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    函数是分式函数,根据函数特征,分母应不为0。

    画复合分式函数y=(2x³-1)/(x+1)³图像的主要步骤

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    形如y=f(x),则x是自变量,它代表着函数图像上每一点的横坐标,自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表,它可以由f(x)的解析式决定。

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函数的单调性

    1

    通过函数的一阶导数,根据导数的符号,判断函数单调性。

    画复合分式函数y=(2x³-1)/(x+1)³图像的主要步骤

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    如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微),若x∈D时恒有f'(x)>0,则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之,若x∈D时,f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

    3

    导数与函数单调性密切相关。特别是对于具体函数,利用导数求解函数单调性,思路清晰,步骤明确,既快捷又易于掌握。

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函数的凸凹性

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    计算函数的二阶导数,即可求出函数的拐点,进而解析函数单调性,则可求出函数的凸凹区间。

    画复合分式函数y=(2x³-1)/(x+1)³图像的主要步骤

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    二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数,则y'=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。

    画复合分式函数y=(2x³-1)/(x+1)³图像的主要步骤

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    如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图像都在该线段的下方,反之在该线段的上方。

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函数的极值

    1

    判断函数在端点处的极限:

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函数的部分点图表

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    根据函数单调性、凸凹性等性质,列举函数在定义域区间上部分关键点坐标。

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函数的示意图

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    综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性、极限性质,并结合函数的定义区间和单调、凸凹区间,即可画出函数的示意图如下:

    画复合分式函数y=(2x³-1)/(x+1)³图像的主要步骤END

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