本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限、奇偶等性质，介绍函数用导数工具画函数y=2x/(3+x^2)的图像的主要步骤。

主要方法与步骤

1

函数为分式函数，函数分母不为0，即可解析函数自变量可以取全体实数，所以函数y=2x/(3+x^2)的定义域为：（-∞，+∞）。



2

求出函数的一阶导数，根据函数一阶导数的符号，判断函数的单调性并求出函数y=2x/(3+x^2)的单调区间。



3

函数的单调性是函数的重要性质，反映了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都有很重要的作用。

4

计算函数y=2x/(3+x^2)的二阶导数，进一步得函数的拐点，从而解析函数y=2x/(3+x^2)的凸凹性和凸凹区间。



5

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

6

解析函数y=2x/(3+x^2)的奇偶性，根据函数特征，函数分母为偶函数，分子为奇函数，所以整体函数y=2x/(3+x^2)为奇函数。



7

根据函数y=2x/(3+x^2)的定义域，结合函数的单调性，求出函数y=2x/(3+x^2)在无穷大处的极限。



8

函数五点图，列表，函数y=2x/(3+x^2)部分点解析表如下：



9

根据函数的定义域、值域、单调性、凸凹性、奇偶性以及极限等性质，以及函数的单调区间、凸凹区间，可画出函数y=2x/(3+x^2)的示意图。

END